数 列
回归教材
1．牢记概念与公式
等差数列、等比数列(其中n∈N*)
等差数列 | 等比数列 | |
通项公式 | an＝a1＋(n－1)d | an＝a1qn－1(q≠0) |
前n项和公式 | Sn＝＝na1＋d | ①q≠1，Sn＝＝； ②q＝1，Sn＝na1 |
2.活用定理与结论
(1)等差、等比数列{an}的常用性质
等差数列 | 等比数列 | |
性质 | ①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q， 则am＋an＝ap＋aq； ②an＝am＋(n－m)d； ③Sm，S2m－Sm， S3m－S2m，…仍成等差数列 | ①若m，n，s，t∈N*，且m＋n＝s＋t，则am·an＝as·at； ②an＝am·qn－m； ③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比数列(Sm≠0) |
(2)判断等差数列的常用方法
①定义法
an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列；
②通项公式法
an＝pn＋q(p，q为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列；
③中项公式法
2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列；
④前n项和公式法
Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列．
(3)判断等比数列的常用方法
①定义法
＝q(q是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列；
②通项公式法
an＝cqn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列；
③中项公式法
a＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列．
3．数列求和的常用方法
(1)等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和．
(2)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成cn＝an＋bn形式的数列求和问题的方法，其中{an}与{bn}是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列．
(3)通项公式形如an＝(其中a，b1，b2，c为常数)用裂项相消法求和．
裂项相消法常见形式：
(4)形如{an·bn}的数列(其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列)，利用错位相减法求和．
(5)通项公式形如an＝(－1)n·n，an＝a·(－1)n或an＝(－1)n(2n＋1)(其中a为常数，n∈N*)等正负项交叉的数列求和一般用并项法．并项时应注意分n为奇数、偶数两种情况讨论．
易错提醒
1．已知数列的前n项和求an，易忽视n＝1的情形，直接用Sn－Sn－1表示．作答时，应验证a1是否满足an＝Sn－Sn－1，若是，则an＝Sn－Sn－1；否则，an＝
2．易混淆几何平均数与等比中项，正数a，b的等比中项是±.
3．易忽视等比数列中公比q≠0导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解．
4．运用等比数列的前n项和公式时，易忘记分类讨论．一定分q＝1和q≠1两种情况进行讨论．
5．利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项．
