通过一元二次不等式的学习，要了解一元二次不等式的现实意义.能够借助一元二次函数求解一元二次不等式;并能用集合表示一元二次不等式的解集.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
一、一元二次不等式的概念
1.定义:一般地,形如ax2 bx c>0或ax2 bx c<0,或ax2 bx c≥0或ax2 bx c≤0,(其中x为未知数,a,b,c均为常数,且a≠0)的不等式叫做一元二次不等式.
2.使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合，叫作这个一元二次不等式的解集.
知识点解析
1.一元二次不等式中的“一元”是指不等式中所要求解的未知数,并且这个未知数是唯一的,但这并不是说,不等式中不能含有其他字母,若含有其他字母,则把其他字母看成常数.
2.一元二次不等式中的“二次”是指所要求解的未知数的最高次数必须是2,且最高次项的系数不为0.
二、一元二次不等式的解法
一元二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系如下表:
知识点解析
一元二次不等式ax2 bx-c>0(a>0)的求解方法,如图.
解一元二次不等式的口诀
先看开口再看根,函数图象是根本;
横轴上方y为正,根间根外想谨慎.
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)化标准.通过对不等式的变形,使不等式的右侧为0,使二次项系数为正.
(2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解,若不能分解,则计算对应方程的判别式.
(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根.
(4)画图像.根据一元二次方程根的情况画出对应的一元二次函数的图像.
(5)写解集.根据图象写出不等式的解集.
思维提升
1.一元二次不等式的解集的端点就是对应的一元二次方程的根,要充分利用这个关系解题.
2.不等式解集的形式与二次项系数有直接的关系,对于关于x的一元二次不等式a(x-x1)(x-x2)>0(x1<x2),当a>0时,其解集是{x|x<x1或x>x2},当a<0时,其解集是{x|x1<x<x2}.
解含参数的一元二次不等式,与解不含参数的一元二次不等式的基本思路是一致的,但要注意分类讨论思想的运用.
(1)若二次项系数含有参数,需对二次项系数等于0与不等于0进行讨论,对于不等于0的情况再按大于0或小于0进行讨论.
(2)若不等式对应的一元二次方程根的情况不确定,需对其判别式Δ进行讨论.
(3)若求出的根中含有参数,则应对两根的大小关系进行讨论.
用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤
1.理解题意,搞清量与量之间的关系.
2.建立相应的不等关系,把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题.
3.解一元二次不等式,得到实际问题的解.
分式不等式与简单高次不等式的解法
1、分式不等式的解法
若f(x)与g(x)是关于x的多项式,则不等式>0(或<0)称为分式不等式.
解分式不等式总的指导原则是利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式(组)求解.
其基本的情况列表如下:
2、简单高次不等式的解法
不等式中未知数的最高次数高于2,这样的不等式称为高次不等式.
解决这一类不等式的基本方法是:在解y<0(或>0)时,将多项式分解成若干个不可约因式的积,根据实数运算法则,把它等价转化为两个或多个不等式(组)(由各因式的符号所有可能的组合决定).于是原不等式的解集就是各不等式解集的并集.但这一方法在因式较多时比较烦琐.此时通常采用下面的方法:
(1)将不等式化为标准形式:一端为0,另一端为一次因式(因式中x的系数为正)或二次不可分解因式的积.
(2)求出各因式的实数根,并在数轴上依次标出.
(3)自最右端上方起,用曲线自右至左依次由各根穿过数轴,遇到奇次重根要一次穿过,遇到偶次重根要穿而不过.
(4)记数轴上方为正,下方为负,根据不等式的符号写出解集.这种方法叫穿根法.
注意
(1)对于数轴穿根法求解高次不等式,分解因式后x或x2的系数须为正数;
(2)要注意准确考察各根是否在解集内.
