女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。
九边形有九个顶点和九条相同的边，但它不能用圆规和尺子在有限的步骤中画出来。然而，伊斯坦布尔圣索菲亚大教堂和其他一些清真寺一样，装饰着九边形图案。它们困扰着数学家和穆斯林。
图19.1：伊斯坦布尔的圣索菲亚大教堂，六边形和六边形交织在一起
数学装饰
伊斯兰艺术提供了将瓷砖拼接在一起形成正多边形的美丽实例。这些正多边形是顶点在圆上、边长相同、两两互成同一角度的几何图形。等边三角形、正方形和六边形是许多小学生尝试使用直尺和圆规的经典例子。还有什么比仅仅画圆圈和直线就能创造出美丽、规则的图形更有趣的呢（图 19.1）？
也可以不使用尺子和圆规，使用瓷砖像拼图一样将基本部件拼接在一起。在建筑物上绘制这种抽象图案的做法起源于穆斯林世界的哈里发阿巴斯王朝（750-1258 年），这个伊斯兰帝国在鼎盛时期包括北非、阿拉伯半岛、南欧、前苏联南部国家以及今天的伊朗、阿富汗和巴基斯坦。倭马亚王朝（660-750 年）时期的建筑以花草图案为特色，优美的图案不得不让位于几何图形。从那时起，非抽象的具象图案被认为是亵渎神明的，尽管《古兰经》（或《古兰经》）中并没有提到这一点。
从八世纪开始，六芒星和八芒星开始以各种图案出现，偶尔也会出现十二芒星。从十一世纪起，出现了更多五角、七角、九角、十角、十一角、十二角或十三角的星形图案。在波斯萨法维建筑（1501-1763 年）中，又允许用植物图案装饰八角星和十角星，有时也用书法铭文装饰。1526 年至 1858 年间，印度的伊斯兰莫卧儿王朝也引入了使用几何图案作为装饰的做法（图 19.2）。
图19.2：大马士革大清真寺（705 年）上的自然风景
惊喜：九边形
不仅是穆斯林，数学家也对九边形感到兴奋，这些图形的构造已经被反复详细研究过。然而几年前，西班牙数学家安东尼娅·雷东多（IES Bachiller Sabuco，Albacete）在土耳其安卡拉的中东技术大学（METU）举行的一次会议上发现了由六边形图案编织而成的九边形，这仍然令与会专家感到惊讶。她列举了伊斯坦布尔的圣索菲亚大教堂和土耳其埃迪尔内的塞利米耶清真寺的例子。这的确很奇怪，因为自希腊人以来，用圆规和尺子画多边形就是一门偏爱的数学学科，伊斯兰学者对这一课题作出了进一步的贡献。那么，缠绕的六边形产生九边形还有什么惊人之处呢？当然，每个人都能看到它们，但更仔细的数学观察能揭示什么呢？（图19.3）。
图19.3：埃迪尔内的塞利米耶清真寺有非几何图形和一个由六边形和九边形交织而成的讲经坛
自从希腊人开始尝试绘制多边形以来，绘制多边形，尤其是用圆规和尺子在有限的步数内绘制多边形，一直是数学界的一个难题。画一个等边三角形或正方形并不难，但画一个正五边形已经是一个挑战。规则的六边形也很简单，但七边形却是不可能的。就这样，在可能与不可能之间，看似杂乱无章地组合着：八边形是可以构造的，九边形和十一边形是不可以的，十边形和十二边形是可以的，但是十三边形和十四边形的正多边形就不那么容易了，而十五边形和十六边形的正多边形又是可以画出来的。1796 年，卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）因可以构造出十七边形（17 边）而一举成名。后来，他甚至更广泛地证明，如果 n 是 2 的幂与不同费马素数的乘积，则能画出 n 个顶点的正多边形。已知的费马素数有五个：3、5、17、257 和 65537 （图 19.4）。
图 19.4 ：用尺子和圆规通过有限的步骤可以画出正五边形
因此，用圆规和尺子在有限的步骤内画出一个七边形或九边形是不可能的，但这并不意味着不能做出很好的近似。在11世纪晚期，穆斯林建筑师发现了几乎规则的七边形和九边形结构，其中的误差肉眼无法分辨。文献中提到了这些九边形，尽管很少。由六边形编织的九边形似乎主要是米玛·希南（1489-1588）的作品。他的门徒传播了他们的知识，也许远至印度，那里的图案后来也被发现。
首先，雷东多研究了通过比例绘制这种六边形和非四边形图案的可能性。对于现代数学家来说，这是一种常见的方法，因为正多边形的绘制可以基于边和对角线之间的简单关系。黄金比例是众所周知的：它是数字 φ = 1.618……，即边长为 1 的五边形对角线的长度。它是方程 φ = (1 φ)/φ 或 φ^2- φ -1 = 0 的解之一，具有显著的性质。例如，斐波那契数列 1、1、2、3、5、8、……的连续数的商，其中每项都是前两项之和，都趋向于黄金分割率。
对七边形和九边形的研究表明，人们还可以发现七边形和九边形中对角线长度的有趣关系。在边长为1的七边形中，两条对角线可以用相同的长度区分，ρ = 1.80194…和σ = 2.24698…它们满足等式ρ=（1 σ）/ρ和σ=（1 σ）/ρ。在一个九边形中有三个，α = 1.87938…，β = 2.53208…和γ = 2.87938…（所以实际上γ = α 1）。现在，α=（1 β）/α，β=（α γ）/α和γ=（β γ）/α。数字ρ、σ和α、β和γ也可以与广义斐波那契数列联系起来。当然，知道这些对角线的长度就可以构造这些多边形（图19.5）。
图19.5：五边形中的黄金分割（左）和七边形（中）和九边形（右）的黄金分割（边长全部为1）
然而，在铺砌瓷砖时，这些小数、表达式和方程式显得相当繁琐。因此，雷东多还探索了一种基于 60 度角三等分的方法。这样，从六边形的中心到一边就可以画出一个 40 度的角，360°/9=40°。波斯学者阿布·雷汉·比鲁尼（Abu Rayhan al-Biruni，973-1050 年）曾指出如何通过解方程 x^3 – 3x -1 = 0 和 x^3 – 3x 1 = 0 来找到 "40 度弦"，因此，研究这种关系甚至还有理论上的动力。
然而，瓷砖层似乎也不可能通过求解三阶方程来在地板或墙壁上铺砌瓷砖。正因为如此，雷东多最终提出了两个切实可行的方案。也许瓦工们通过经验发现，在六角形蜂窝图案中，利用连接图案中某些点的相交线，可以很容易地得到 38.2 度的角度。从实用角度来说，这个角度已经足够接近 40 度，因此可以建造一个非正方形，从而完成整个图案（图 19.6）。
图19.6：AB线和CD线相交于E点，与G点（相对于AF点与E点对称）一起，EAG形成了一个38.2°的角，这是一个非常接近40°的角，可以构成一个九边形
另一种可能性是瓷砖层从一些基本的拼图开始，雷东多称之为“星星”、“蝴蝶结”和“房子”。以某种方式将拼图拼在一起会产生所需的图案。同样，九边形只是近似规则的，但当几何图形是用瓷砖和石膏做的时，误差并不明显（图19.7）。
图19.7：用六边形编织九边形的拼图系统
秘密
六边形编织九边形提出了几个问题。雷东多通过数学论证得出了她的假设，并直觉地为谜题假设辩护。在METU会议上，她得到了历史学家的支持，他们断言所谓的托普卡皮卷轴（伊斯坦布尔，15世纪）包含了114个类似绘画方案的例子，例如三角形、四边形和五边形图案。Peter Lu（哈佛大学）也为“gereh tile”方法辩护（在波斯语中，“gereh”一词是“tile”的意思，因此“gereh tile”这个名称是一个同义反复词），在该方法中，图案是按照给定的线条拼成的。该系统将有五个标准的瓷砖拼图块，自13世纪以来一直在使用。然而，它们仍然不太可能有助于七边形图案和六边形编织九边形的创造。
另一个谜是对九边形的偏爱。毕竟，9在伊斯兰教中没有特殊含义。传统的祈祷花环上有99颗珍珠，分别称为“sibha”、“subha”、“misbaha”或“mashaba”（阿拉伯语）、“tasbih”（波斯语）、“tespih”（土耳其语和波斯尼亚语）。这个数字被视为33的3倍，代表真主的3个荣耀或名称序列。然而，埃迪尔内的塞利米耶清真寺的六边形编织九边形立在一个讲经坛或“神圣楼梯”上，这是内部的一个特殊部分。这些楼梯从来不是用来上另一层楼的，而是作为上面天堂世界的参考。只有在特殊情况下，重要人物才会使用九边形（图19.8）。
图19.8：99颗珠子的米莎巴（左）和33颗珠子的米莎巴（右）
也许这些特殊的九边形饰品的制作者只是想展示它们有多好，以及它们的饰品有多精美。如果邻近的城市有一个七边形图案，下一个清真寺将有一个九边形图案。基督徒通过建造最尖的哥特式教堂来美化他们的信仰。穆斯林寻找最令人惊讶的多边形图案，这一选择从许多数学角度来看都是有益的。
青山不改，绿水长流，在下告退。
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